העיקרון של דיריכלה: המתמטיקה הוכיחה שאתה לא ייחודי כמו שאתה חושב

2024-11-02T21:28:44+03:00

האם אפשר למצוא שני אנשים עם אותו מספר שערות על הראש? התשובה היא כן בהחלט, וניתן להוכיח זאת גם ללא ניתוח סטטיסטי. לשם כך, מספיק "עקרון הקופסאות", המכונה גם "עקרון דיריכלה".

העיקרון הזה, במבט ראשון, נראה פשוט להפליא: אם אתה מחלק נ חפצים על ק קופסאות, ויש יותר חפצים מקופסאות (n>k), אז מספר אובייקטים בהחלט יסתיימו בקופסה אחת. הצהרה זו, שנראית כהגיונית, היא הפעם הראשונה שהוזכר על ידי המדען הצרפתי ז'אן לוריכון בשנת 1622. עם זאת, כפי שקורה לעתים קרובות, חוק סטיגלר – לפיה תגליות מדעיות לעתים נדירות נקראות על שם מחבריהן האמיתיים – חל גם כאן. לרוב מייחסים את עקרון התיבה פיטר גוסטב לז'ונה דיריכלה שחי 200 שנה מאוחר יותר מלראשון.

אבל נחזור לשאלת השיער: איך אפשר לקבוע שלשני אנשים בעולם יש אותה כמות שיער על הראש? ראשית עלינו לקבוע את כמות השיער המקסימלית שיש לאנשים. לאדם הממוצע יש בין 90,000 ל-150,000 שערות ואנחנו יכולים לומר בביטחון שמספר זה אינו עולה על מיליון. אוכלוסיית העולם מונה שמונה מיליארד, מה שאומר שחייבים להיות אנשים עם אותה כמות שיער, עד שאחד מהם מצחצח את שיערו ומאבד כמה שערות. אבל אחרי כמה משיכות מסרק, כנראה תיווצר קבוצה חדשה של אנשים עם אותה כמות שיער.

אתה יכול אפילו להעריך את המספר המינימלי של אנשים עם אותו מספר שערות. לשם כך, קחו בחשבון שני מקרים קיצוניים: כאשר לכולם יש אותה כמות שיער (למשל, אם כולם מגלחים את הראש) וכאשר כמות השיער מגוונת ככל האפשר.

דמיינו מיליון חדרים ממוספרים שבהם כל אדם נכנס לחדר עם מספר המתאים למספר השערות על ראשו. אם כולם על פני כדור הארץ היו שעירים באותה מידה, כולם היו מגיעים באותו חדר. אז שמונה מיליארד אנשים יהיו בחדר אחד, ו-999,999 החדרים הנותרים יישארו ריקים.

כעת דמיינו את המקרה ההפוך, כאשר אנשים מחולקים כך שיהיו כמה שפחות אנשים בחדר אחד. אם שמונה מיליארד אנשים היו מחולקים באופן שווה על פני מיליון חדרים, היו 8,000 אנשים בכל חדר. עם זאת, עם כל חלוקה מחדש, אחד החדרים בהחלט יכיל יותר מ-8,000 אנשים, מה שמאשר שלפחות ל-8,000 אנשים על פני כדור הארץ יש אותה כמות שיער.

לפיכך, ניתן להציג גרסה חזקה יותר של עקרון התיבה: אם נ חפצים מחולקים לפי ק קטגוריות ו n>kאז לפחות לא אובייקטים יהיו באותה קטגוריה. אם תחלק אובייקטים באופן שווה, בממוצע יהיו לא אובייקטים, ועם ההטרוגניות הקלה ביותר, אחת מהקטגוריות תכיל בהכרח יותר לא חפצים. אם תוצאת החלוקה אינה מספר שלם, הערך המינימלי מעוגל כלפי מעלה.

לדוגמה, אם הובקעו שבעה שערים במשחק כדורגל, קבוצה אחת הבקיעה לפחות ארבעה שערים (7/2מעוגל למעלה). או קחו מספרים גדולים יותר: לפחות 23,000 ניו יורקים נולדו באותו יום. בעיר מתגוררים כ-8.5 מיליון תושבים, ומחולקים ב-366 ימים 8,500,000 / 366 = 23,000 אנשים חולקים יום הולדת אחד.

ניתן להסיק מסקנות מעניינות ולא תמיד משמעותיות באמצעות עקרון התיבה. לדוגמה, בהתפלגות נקודות על כדור: על ידי בחירת חמש נקודות אקראיות, נוכל לומר שלפחות ארבע מהן יהיו באותו חצי כדור. לאחר בחירת שתי נקודות לצייר את קו המשווה, הכדור מחולק לשתי חצאי כדור, כאשר שלוש הנקודות הנותרות נופלות. על פי עקרון הקופסאות, לפחות שתיים מהן יגיעו לאותה המיספרה. אם אתה מוסיף נקודות על קו המשווה, אז תמיד יהיו לפחות ארבע נקודות על חצי אחד של הכדור.

עקרון התיבה ממחיש שאפילו לאמירות ברורות יכולה להיות משמעות גדולה במתמטיקה. זה לא מפתיע, שכן עבודה מתמטית מבוססת על הנחות יסוד, כמו קיומו של הסט הריק, שממנו תוצאות מורכבות כגון משפטי אי השלמות של גדל . מערכות פשוטות יכולות להוביל לתוצאות מורכבות.

[mc4wp_form id=1302]